$ \ vec x_i $ konumunda detektördeki her $ S_i $ piksel değerinde bazı hata $ N_i $ var: CCD'lerde, örneğin, okuma elektroniklerinden, termal gürültüden ve termal gürültüden $ N_ \ text {bkg} $ arka plan gürültüsü var. gökyüzü arka planı artı bir Poisson foton gürültüsü $ N_S = \ sqrt {S} $. Çoğu durumda, bu gürültü oldukça iyi bir Gauss dağılımını takip eder. Arka planı çıkardıktan sonra, bir konum ölçümü

$$ \ vec x = \ frac {\ sum {S_i \ vec x_i}} {\ sum {S_i}} $$

belirsizlik

$$ \ operatorname {std} \ vec x = \ left [\ sum_i \ left (\ frac {\ partic x} {\ kısmi S_i} N_i \ sağ) ^ 2 \ sağ] ^ {1/2} = \ frac {\ left [\ sum_i \ left (\ sum_j \ frac {(x_i - x_j) S_j} {\ sum_k S_k} N_i \ sağ) ^ 2 \ sağ] ^ {1/2}} {\ sum_k S_k} $$

$$ N_i ^ 2 = N_ \ text {bkg} ^ 2 + N_ {S_i} ^ 2 $$

Gauss hata yayılımını kullanarak .. Umarım matematiği doğru çalıştırmışımdır. Yazma şeklim biraz tuhaf, ancak bu yöntemin önemli bir özelliğini gösteriyor: $ j $ üzerindeki toplama bakarsanız, bir pikselin gürültüsünün temelde pikselin uzaklığına göre nasıl ağırlıklandırıldığını görebilirsiniz. centroid sonucu. Bir piksel değerindeki aynı hata, piksel merkezden daha uzaktaysa daha fazla etkiye sahiptir.

Daha iyi yöntemler, zaten ilk denklemdeki piksel değerlerindeki $ N_i $ belirsizliği hesaba katar. Bunu, ağırlık merkezinize ek ağırlıklar ekleyerek veya gördüğüm kadarıyla astrometride "olağan" yöntem olan uygun modellere giderek yapabilirsiniz.

Pozisyonları ölçmeye yönelik bu daha kapsamlı yaklaşım, verilen gözlem koşulları altında aletin nokta yayılma fonksiyonunu $ P (\ vec x_i - \ vec x_ \ text {obj}) $ kullanır. Model bir yaklaşım olabilir, ör. bir Moffat işlevi veya görüntüdeki karıştırılmamış parlak yıldızlardan oluşturulan deneysel bir model, ör. spline enterpolasyonu. Nokta kaynakları için, modelin bir görüntüye tipik en küçük kareler uyumu ve akısı, belirsizlik açısından parametre tahmininin istatistiksel olarak optimumuna yakın sonuçlar üretir. Modern bilgi işlem gücümüz sayesinde, belirli bir model ve veri gürültüsüne ilişkin belirsizliği elde etmenin en kolay yolu genellikle bir önyükleme algoritmasıdır.

Elbette genişletilmiş nesneler, Örneğin sorunuzda verdiğiniz gibi şekillerine ilişkin varsayımlar.

Gökbilimsel uyarlanabilir optik (AO) sistemleri için merkezleme algoritmaları hakkında Thomas ve diğerleri tarafından yazılan bu 2006 makalesine göz atabilirsiniz. Bu makale, ağırlık merkez konumu için hata tahminlerinin ayrıntılı bir tartışmasını içerir. farklı algoritmalar. Cevabınızda tarif ettiğiniz yaklaşım "basit ağırlık merkezi" dedikleri şeye karşılık gelir (Bölüm 3); detaylı analiz için Rousset'in (1999) bir kitap bölümüne atıfta bulunuyorlar (Poisson ve okuma-gürültü katkılarını içerdiğine inanıyorum ve bu nedenle sonucunuzla aynı değildir).

Daha genel olarak, "merkez" - yerçekimi "yaklaşımı, AO sistemlerinde olduğu gibi (yıldız ağırlık merkezinin saniyede birçok kez belirlenmesinin gerektiği) hızlı, hesaplama açısından ucuz tahminlere ihtiyaç duyulduğu durumlarda veya bir tahmin sağlamak için kaba bir ilk tahmin olarak kullanılır. daha karmaşık bir analiz için başlangıç ​​noktası. Astronomik görüntülerin gözlem sonrası analizi, kaynağın bir yıldız veya diğer nokta kaynakları olup olmadığına bağlı olarak, nokta yayılma fonksiyonunun doğru bir modeline sahip olup olmadığınıza bağlı olarak genellikle daha karmaşık / karmaşık yaklaşımlar kullanır (bu, dairesel olmayan olabilir) ), komşu kaynakların borçlanması, verilerinizin gürültü özelliklerinin neler olduğu vb.

Pratikte, bu tür analizlerin çoğunun, verilere bir model uydurmayı içeren bir tür doğrusal olmayan en küçük kareler veya maksimum olasılık analizi kullandığını tahmin ediyorum. Yerleştirilen model parametrelerindeki (ağırlık merkezi konumu dahil) hatalar, uygun manzara hakkındaki basit varsayımlardan türetilebilir (örneğin, Levenberg-Marquardt ve diğer gradyan tabanlı minimizasyon algoritmaları bazen yerel $ \ chi ^ { 2} $ manzara bir parabol olarak), önyükleme yeniden örneklemesinden veya Markov Chain Monte Carlo yaklaşımlarından. Bu, merkez (ve diğer parametre) belirsizlikleri için bazı yarı-ampirik tahminler veya düzeltmeler elde etmek için, basit yıldız veya galaksi modellerinin yapay görüntüleri üzerinde uydurma işleminin simülasyonları çalıştırılarak tamamlanabilir.

Dunno hakkında "... genel olarak belirlendi ..." ancak benzer çalışmada, güç merkezini piksel altı çözünürlüğe kadar belirlemek için piksel yoğunluğu verileri üzerinde 2 boyutlu bir spline uydurma gerçekleştirdim (ve tanık oldum) . Sizin de belirttiğiniz gibi, nesnenin küreye yakın ve azimut sabit yoğunluğa yakın olduğu konusunda makul bir varsayımda bulunuyoruz (yani yoğunluk yarıçapa göre değişebilir, ancak açıya göre değişebilir).

Bu hesaplamadaki belirsizlik (varyans), genellikle görüş hattı konumundaki titreşimi hesaba kattıktan sonra, her pikselde alınan sinyalde gözlemlenen varyanslara standart istatistiksel yöntemler uygulanarak hesaplanır. (ve tabii ki elektronik gürültü, vb. için muhasebe). Esasen, N kare üzerinden spline tarafından hesaplanan tepedeki varyansa bakabilir veya tüm piksellerdeki varyansa bakabilir, spline uydurma katkılarını belirleyebilir ve katkılarını buna göre ağırlıklandırabilir.

Bu ilginç problem, açıkça astronomi ile de ilgilidir. Tıbbi görüntülemede, bir nesnenin merkezini belirlemek, birkaç özel uygulama alanında da devreye giriyor.

Burada, astronomide hangi formülün kullanıldığına dair bilgi sahibi olmak için soruyu sordum: Belirsizlik nasıl? (toplamsal) ölçüm gürültüsü varlığında tahmin edilen 'COG' oranı?

2002'de, normal dağılan katkı maddesi varlığında tahmini ağırlık merkezinin varyansı için genel bir formül türettik. her piksel değeriyle ilişkili gürültü. Referans aşağıdaki gibidir:

H.C. van Assen, M. Egmont-Petersen, J.H.C. Reiber. "Ağırlık merkezi ölçüsü kullanılarak gri seviyeli görüntülerde doğru nesne yerelleştirmesi: doğruluk ve hassasiyet", Görüntü İşlemede IEEE İşlemleri , Cilt. 11, No. 12, s. 1379-1384, 2002.

Öncelikle nesneyi çevreleyen pencerenin merkezinin $ (0,0) $ olduğunu varsayan genel formülü vereceğim. Bu formülün tutması için nesnenin merkezi olarak konumlandırılması gerekmez.

Her pikselle ilişkili toplamsal ölçüm gürültüsünü $ \ epsilon \ sim U (0, \ sigma ^ 2) $, standart sapması $ \ sigma $ olmak üzere.

$ (d + 1) \ times (d + 1) boyutlarının $ {\ cal W} $ kareli (alt) görüntüsünü tanımlayın. ) $ x = - \ frac {d} {2}, \ frac {d} {2} +1, \ ldots, \ frac {d} {2} $ ve $ y = - \ koordinatlarla $ piksel frac {d} {2}, \ frac {d} {2} +1, \ ldots, \ frac {d} {2} $. $ {\ Bf w} _ {x, y} $, $ {\ cal W} $ cinsinden parazit yokluğunda $ (x, y) $ pikselinin gerçek piksel yoğunluğu olsun. Sinyal artı gürültü görüntüsünü $ W $ olarak tanımlayın: $ w_ {x, y} = {\ bf w} _ {x, y} + \ epsilon $. (Alt) görüntüdeki toplam piksel sayısını $ N = (d + 1) ^ 2 $ olarak tanımlayın; bu, $ W $ 'ın merkezi 0'ıncı satırı ve 0'ıncı sütununu içerir.

$ W_ {x, y} $ ve ($ w_ {x, y} \ geq 0 $) değerleri gerçekte gözlemlenenlerdir. Merkeze yakın $ (x = 0, y = 0) $ a parlak nesne ilgi çekici bulundu.

Bu nesnenin tahmini ağırlık merkezi $ cog $ şu şekilde hesaplanır: $$ \ widehat {cog} (x, y) = \ left (\ dfrac {\ sum_ {x, y} \; x \, w_ {x, y}} {\ sum_ {x, y} \; w_ {x, y}}, \ dfrac {\ sum_ {x, y} \; y \, w_ {x, y}} {\ toplamı {x, y} \; w_ {x, y}} \ right) $$ $ x $ ve $ y $, $ W $ içindeki her piksel bir toplamın (sigma) hesaplamasına tam olarak bir kez girecek şekilde endeksler çalıştırıyor . $ cog $, ölçüm gürültüsünden etkilenen ölçümdür.

Delta kuralını arka arkaya iki kez kullanarak, bilinen bir gürültü seviyesi verildiğinde çarkın varyansı için genel bir yaklaşık formül türettik.

$ x2 $ 'ı şu şekilde tanımlayın: $$ x2 = \ sum_ {x} \; \ toplam_ {y} \; x ^ 2 $$ ve benzer şekilde $ y2 $ as: $$ y2 = \ sum_ {x} \; \ toplam_ {y} \; y ^ 2 $$ Son olarak, ortalama 'ağırlık' (ortalama piksel yoğunluğu) şu şekilde verilir: $$ \ hat {\ mu} _w = N ^ {- 1} \; \ toplam_ {x} \; \ toplam_ {y} \; w_ {x, y} $$ $ \ widehat {cog} (x) $, tahmini ağırlık merkezini $ x $ koordinatını ve $ \ widehat {cog} (y) $ tahmini ağırlık merkezini $ y $ - koordinat.

$ \ widehat {cog} (x) $ ve $ \ widehat {cog} (y) $ için MLE'den türetilmiş varyans tahminleri şöyledir: $$ \ text {var} (\ widehat {cog } (x)) = \ left (\ frac {\ sigma ^ 2 \; x2} {\ left [N \; \ hat {\ mu} _w \; \ widehat {cog} (x) \ right] ^ 2} + \ frac {\ sigma ^ 2} {N \; (\ hat {\ mu} _w) ^ 2} \ sağ) \; (\ widehat {cog} (x)) ^ 2 $$ ve $$ \ text {var} (\ widehat {cog} (y)) = \ left (\ frac {\ sigma ^ 2 \; y2} {\ left [N \; \ hat {\ mu} _w \; \ widehat {cog} (y) \ right] ^ 2} + \ frac {\ sigma ^ 2} {N \; (\ hat {\ mu} _w) ^ 2} \ sağ) \; (\ widehat {cog} (y)) ^ 2 $$ Görünüşe göre gerçek dişli tam olarak $ (0,0) $ olduğunda, dişli için limit (basitleştirilmiş) formüller varyans tutma: $$ \ lim_ {cog (x) \ to 0} \; \; \ lim_ {cog (y) \ ila 0} \; \ text {var} (\ widehat {cog} (x)) = \ frac {\ sigma ^ 2 \; x2} {(N \; \ hat {\ mu} _w) ^ 2} $$ ve $$ \ lim_ {cog (x) \ to 0} \; \; \ lim_ {cog (y) \ ila 0} \; \ text {var} (\ widehat {cog} (y)) = \ frac {\ sigma ^ 2 \; y2} {(N \; \ hat {\ mu} _w) ^ 2} $$, dış parantez içindeki ikinci (toplamsal) varyans terimi olarak kaybolur.

Yakın zamandaki simülasyonlarım, gerçek varyansın 95 $ \% $ 'dan fazlasının burada gösterildiği gibi tanımlanmamış varyans formülünden kaynaklandığını gösteriyor. Bu simülasyon sonucu, gerçek cog merkezi konumdan $ (0,0) $ birden fazla koordinat saptığında da geçerlidir.

Varyans tahmininin doğruluğunu gösteren simülasyon grafiği bu yanıta önümüzdeki günlerden biri eklenebilir.

Çarpımlı gürültü

Poisson gürültüsü CCD kameralarda meydana gelir, etkisi özellikle görüntü yoğunluğunun çok karanlık alanlardan gerçekten parlak olanlara gradyan geçişleri. Poisson gürültüsünün büyüklüğünün sinyal yoğunluğu ile orantılı olduğu bilinmektedir. Bu durumda, gözlemlenen görüntüde çarpımsal gürültü mevcuttur: $$ w_ {x, y} = {\ bf w} _ {x, y} \, \, \ cdot \ alpha \, \ cdot \, \ epsilon $$, $ \ alpha $ bir orantı sabiti ve $ \ epsilon $ normal dağıtılan gürültü terimi (bu, orta derecede $ w_ {i, j} >0 $ için bir Poisson dağılımına iyi yaklaşır). >

Basit bir $ \ ln (\ cdot) $ dönüşümü gerçekleştirmek, $ lw_ {i, j} = \ ln (w_ {i, j}) $, katkı gürültü. Ardından, dişli varyans tahmin aracı $ lw $-resmine uygulanabilir.